Ecuación de primer grado

Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.

Sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para resolver un triángulo rectángulo es necesario encontrar los lados y

los ángulos que se desconocen a través de los ya conocidos.

Recordemos que un Triángulo Rectángulo es aquel que

está constituido por dos lados (Opuesto y Adyacente),

Hipotenusa y forma un ángulo de 90 grados (90°)

Veamos un Ejemplo, nos  proporcionan la siguiente información:

El Lado c es opuesto al ángulo α   (Alfa)
    
       El Lado b  es opuesto al ángulo β (Beta)  
    
       El Lado a es opuesto al ángulo γ   (Sigma)

Revisemos la información  que tenemos:

      Tenemos un ángulo β  equivalente a 25° 12 ' 42'', 
      por lo que tenemos que pasarlo a Grados; 
      aparte  conocemos el lado c = 7 cm. 
      Nos piden encontrar un ángulo y dos lados, 
      que son  los que desconocemos.

      1. Comenzaremos a pasar los 25° 12 ' 42'' a Grados

                

      2.   Conociendo β, podemos conocer γ, ya que α = 90°, así:

                   

        3.  Ahora, empezaremos a encontrar los lados que nos hacen falta,
ya que conocemos γ, podemos encontrar el lado por medio de las funciones           
           

           trigonométricas:   

            Despejemos la Variable:

          c Sen 64.79 ° =

        Aplicamos por medio de  la Calculadora La Función Seno de 64.79, 
        que es : 0.9047527, luego dividimos 7 ÷  0.9047527 = 7.73 = c.

       4.  Ahora conociendo el valor de c, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

       5.   Quedando finalmente la gráfica así:



                     

   Veamos los siguientes videos.....

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente,

haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones

de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos

siempre con la Calculadora.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras,

las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los

Ángulos del Triángulo.

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

1. Función  Seno ( Sen):
    
    La Función Seno nos describe la relación  existente entre Lado Opuesto sobre la
    
    Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

2.  Función Coseno ( Cos):

     La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre

     Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3.  Función Tangente ( Tan):

     Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre

     Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

 También tenemos las  Funciones que son inversas a las anteriores:

       4.  Función  Cotangente ( Cot):
            
            Que describe la relación  entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

       5.  Función Secante (  Sec):
            
            Relación entre Hipotenusa sobre  Lado Adyacente:

       6.  Función  Cosecante ( CsC):

            Nos muestra la relación entre Hipotenusa  sobre  Lado Opuesto:    

Ahora empecemos a trabajar ejercicios en donde involucre todas las funciones.

Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en

cada caso que se requiera, o las que hacen falta.


   1. Primero encontraremos el valor de la  ecuación que nos hace falta, en éste caso,    
              
        ya que sabemos que la función de  Coseno relaciona Lado Adyacente sobre 
             
        Hipotenusa, ya conocemos dichos  valores, nos faltaría encontrar Lado   
             
        Opuesto:
    2. Ahora conociendo el  valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar
        
        cada una de las funciones que hacen  falta:


  3.  Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:





   Veamos otro ejemplo...

Tan A  = 2                   
    1.  En éste caso, se puede decir  que                  

��������
         Podemos para convertirlo en  fracción, podemos adicionarle 1 como denominador y 
         no afectar los valores, es decir, que al sustituir en la  ecuación encontraríamos 
         siempre una incógnita.
    2.  Para encontrar el valor que hace falta:
                                       
      Sustituimos valores:


  3. Ahora conociendo c,  el valor de la Hipotenusa, detallamos las funciones 
      requeridas:


  4. Graficamos:
      

TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema de Pitágoras

Hace  años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!  El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 ¿Seguro... ? Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona! ¿Por qué es útil esto? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!) ¿Cómo lo uso? Escríbelo como una ecuación: a2 + b2 = c2 Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos: a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13 a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12 Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!

Triángulos, cuadrados, rectángulos.

Figuras congruentes y semejantes.

Criterios para saber si dos triángulos son congruentes (es decir, iguales). Para que no tengas que medir todos los lados y todos los ángulos: con que conozcas los 3 lados (LLL), o bien dos lados y el ángulo que está entre esos dos lados (LAL), o bien dos ángulos y el lado entre esos dos ángulos (ALA), puedes saber si 2 triángulos son o no son congruentes entre sí.

Semejanza entre dos triángulos (en base a la proporcionalidad). Fíjate cómo los tres criterios son los mismos (LLL, LAL, ALA), pero en este caso nos sirven para ver si dos triángulos son semejantes.

Matemáticas III Bloque 1

Ecuaciones cuadráticas sencillas

Cuando la incógnita "x" es distinta que cero y está elevada a potencia 2, tenemos ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.

Lo verás con mayor claridad en los siguientes videos.

Problema típico que requiere de una ecuación cuadrática para resolverse. Juan tiene 3 años más que Ana. Si multiplicamos sus edades, el resultado es 130. ¿Cuántos años tiene Juan, y cuántos Ana?

Para hallar los lados de este rectángulo, también necesitamos echar mano de una ecuación cuadrática. Esta vez, la solución es hallada por factorización.